В книге рассматриваются математические задачи, связанные с одним из центральных объектов математической физики и бесконечномерного анализа - континуальным, или функциональным, интегралом. Его наиболее важный для приложений в квантовой теории вариант носит название интеграла Фейнмана; именно ему и уделяется основное внимание в книге. Континуальные интегралы - это интегралы по бесконечномерным пространствах функций; их значение определяется тем, что они позволяют представить в явном виде решения различных задач, связанных с дифференциальными операторами с частными производными и, более общим образом, с псевдодифференциальными операторами. С помощью континуальных интегралов выражаются ядро разрешающего оператора задачи Коши для уравнений типа Шредингера и теплопроводности как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае (соответствующие формулы известны как формулы Фейнмана-Каца), регуляризованные следы дифференциальных операторов и регуляризованные определители экспонент от них, математические ожидания неограниченных случайных операторов, ряд объектов, возникающих в теории представлений групп.Эффективность подхода, использующего континуальные интегралы, объясняется сходством их формальных свойств со свойствами обычных интегралов по счетно аддитивной мере, что позволяет, распространяя на континуальные интегралы методы классического анализа, получить гибкий формальный аппарат.Книга написана на основе курсов, неоднократно читавшихся авторами на механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова.Для студентов и аспирантов математических и физических факультетов университетов, а также для научных работников.
V knige rassmatrivajutsja matematicheskie zadachi, svjazannye s odnim iz tsentralnykh obektov matematicheskoj fiziki i beskonechnomernogo analiza - kontinualnym, ili funktsionalnym, integralom. Ego naibolee vazhnyj dlja prilozhenij v kvantovoj teorii variant nosit nazvanie integrala Fejnmana; imenno emu i udeljaetsja osnovnoe vnimanie v knige. Kontinualnye integraly - eto integraly po beskonechnomernym prostranstvakh funktsij; ikh znachenie opredeljaetsja tem, chto oni pozvoljajut predstavit v javnom vide reshenija razlichnykh zadach, svjazannykh s differentsialnymi operatorami s chastnymi proizvodnymi i, bolee obschim obrazom, s psevdodifferentsialnymi operatorami. S pomoschju kontinualnykh integralov vyrazhajutsja jadro razreshajuschego operatora zadachi Koshi dlja uravnenij tipa Shredingera i teploprovodnosti kak v konechnomernom, tak i v beskonechnomernom sluchae (sootvetstvujuschie formuly izvestny kak formuly Fejnmana-Katsa), reguljarizovannye sledy differentsialnykh operatorov i reguljarizovannye opredeliteli eksponent ot nikh, matematicheskie ozhidanija neogranichennykh sluchajnykh operatorov, rjad obektov, voznikajuschikh v teorii predstavlenij grupp.Effektivnost podkhoda, ispolzujuschego kontinualnye integraly, objasnjaetsja skhodstvom ikh formalnykh svojstv so svojstvami obychnykh integralov po schetno additivnoj mere, chto pozvoljaet, rasprostranjaja na kontinualnye integraly metody klassicheskogo analiza, poluchit gibkij formalnyj apparat.Kniga napisana na osnove kursov, neodnokratno chitavshikhsja avtorami na mekhaniko-matematicheskom fakultete MGU imeni M.V.Lomonosova.Dlja studentov i aspirantov matematicheskikh i fizicheskikh fakultetov universitetov, a takzhe dlja nauchnykh rabotnikov.
