В книге изучаются связи между представлениями наиболее важных бесконечномерных алгебр Ли: алгебры Ли бесконечных матриц, алгебры Вирасоро, алгебры Гейзенберга и аффинных алгебр Каца - Муди. Рассматривается связь между представлением алгебры Ли бесконечных матриц в пространстве полубесконечных форм и теорией позитронов Дирака. Основанная на этом конструкция бозонно-фермионного соответствия позволяет описать универсальную иерархию дифференциальных уравнений с частными производными Кадомцева - Петвиашвили и ее солитонные решения. В первой части книги также описывается связь между аффинными алгебрами Каца - Муди и алгеброй Вирасоро, в частности конструкция Сугавары. Эта связь ведет к доказательству детерминантной формулы Каца, которая, в свою очередь, ведет к минимальным моделям Белавина - Полякова - Замолодчикова. Вторая часть книги описывает основы теории вертексных алгебр - новых математических структур, связанных с двумерной конформной теорией поля. В частности, показано, что простейший алгебраический аналог аксиом Вайтмана квантовой теории поля эквивалентен фундаментальному тождеству Борчердса для вертексных алгебр. Введение вертексных алгебр помогает прояснить и упростить построения первой части. Для математиков, физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов, специализирующихся в теории представлений и математической физике.
V knige izuchajutsja svjazi mezhdu predstavlenijami naibolee vazhnykh beskonechnomernykh algebr Li: algebry Li beskonechnykh matrits, algebry Virasoro, algebry Gejzenberga i affinnykh algebr Katsa - Mudi. Rassmatrivaetsja svjaz mezhdu predstavleniem algebry Li beskonechnykh matrits v prostranstve polubeskonechnykh form i teoriej pozitronov Diraka. Osnovannaja na etom konstruktsija bozonno-fermionnogo sootvetstvija pozvoljaet opisat universalnuju ierarkhiju differentsialnykh uravnenij s chastnymi proizvodnymi Kadomtseva - Petviashvili i ee solitonnye reshenija. V pervoj chasti knigi takzhe opisyvaetsja svjaz mezhdu affinnymi algebrami Katsa - Mudi i algebroj Virasoro, v chastnosti konstruktsija Sugavary. Eta svjaz vedet k dokazatelstvu determinantnoj formuly Katsa, kotoraja, v svoju ochered, vedet k minimalnym modeljam Belavina - Poljakova - Zamolodchikova. Vtoraja chast knigi opisyvaet osnovy teorii verteksnykh algebr - novykh matematicheskikh struktur, svjazannykh s dvumernoj konformnoj teoriej polja. V chastnosti, pokazano, chto prostejshij algebraicheskij analog aksiom Vajtmana kvantovoj teorii polja ekvivalenten fundamentalnomu tozhdestvu Borcherdsa dlja verteksnykh algebr. Vvedenie verteksnykh algebr pomogaet projasnit i uprostit postroenija pervoj chasti. Dlja matematikov, fizikov-teoretikov, aspirantov i studentov universitetov, spetsializirujuschikhsja v teorii predstavlenij i matematicheskoj fizike.
