Данная книга является первой, где систематически изучаются формальные матрицы. Элементы этих матриц принадлежат нескольким (в общем случае разным) кольцам и бимодулям. Частным случаем формальных матриц второго порядка являются контексты Мориты, поначалу предназначавшиеся для описания эквивалентностей между категориями модулей. Они также очень удобны для переноса свойств с одного кольца на другое. Существуют аналоги контекстов Мориты для полуколец, хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец и категорий. Формальные матрицы весьма полезны для построения колец с односторонними несимметричными свойствами. Подробно исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные модули над кольцами формальных матриц. Вводится и изучается понятие определителя формальной матрицы над коммутативным кольцом. Его свойства могут отличаться в некоторых случаях от свойств обычного определителя. Также группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц выражаются через соответствующие группы колец с главной диагонали.
Dannaja kniga javljaetsja pervoj, gde sistematicheski izuchajutsja formalnye matritsy. Elementy etikh matrits prinadlezhat neskolkim (v obschem sluchae raznym) koltsam i bimoduljam. Chastnym sluchaem formalnykh matrits vtorogo porjadka javljajutsja konteksty Mority, ponachalu prednaznachavshiesja dlja opisanija ekvivalentnostej mezhdu kategorijami modulej. Oni takzhe ochen udobny dlja perenosa svojstv s odnogo koltsa na drugoe. Suschestvujut analogi kontekstov Mority dlja polukolets, khopfovykh i kvazikhopfovykh algebr, kokolets i kategorij. Formalnye matritsy vesma polezny dlja postroenija kolets s odnostoronnimi nesimmetrichnymi svojstvami. Podrobno issledujutsja inektivnye, ploskie, proektivnye i nasledstvennye moduli nad koltsami formalnykh matrits. Vvoditsja i izuchaetsja ponjatie opredelitelja formalnoj matritsy nad kommutativnym koltsom. Ego svojstva mogut otlichatsja v nekotorykh sluchajakh ot svojstv obychnogo opredelitelja. Takzhe gruppy Grotendika i Uajtkheda koltsa formalnykh matrits vyrazhajutsja cherez sootvetstvujuschie gruppy kolets s glavnoj diagonali.
